GEORG CANTOR
Storia d’un genio infinito
di Gabriele Rovigatti

Più volte nella storia delle scienze pensatori innovativi e geniali sono stati attaccati da più parti ed in modo molto violento: senza arrivare agli eccessi di Bruno o di Galilei, basti pensare all’ostruzionismo dei “baroni” dell’epoca nei confronti della teoria della relatività di Einstein o del modello quantistico, allora ritenuti obbrobi fisici e divenuti invece in breve tempo l’ortodossia nel campo della fisica teorica.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (più semplicemente Georg Cantor), matematico tedesco nato in Russia nel 1845, fu avversato per tutta la vita del suo ex maestro Kronecker e da buona parte dei matematici finitisti a causa delle sue straordinarie scoperte nel campo dell’insiemistica, che hanno aperto la strada ad una branca della matematica oggi considerata fondamentale.

Cantor si occupò per buona parte della sua vita di infinito,o meglio di infiniti, e per la prima volta più matematicamente che metafisicamente. Per trattare l’argomento e fornire un’idea chiara di quale sia stato il suo apporto alla matematica e alla filosofia occidentali è necessaria una breve introduzione per chiarire meglio il concetto stesso di infinito.

L’idea di infinito è stata sempre presente nella mente umana, ma ad un livello che potremmo definire “subconscio”, ovvero come intuizione, speranza, aspettativa, pensiero che ci attraversa guardando un cielo di notte (“il cielo stellato sopra di me, la legge morale dentro di me”, vi ricorda qualcosa?); ma in pochi hanno avuto l’ardire di occuparsene seriamente, “scientificamente”.

Ovviamente l’infinito è storicamente l’attributo di una entità superiore, qualitativamente diversa e trascendente l’uomo, un’entità che probabilmente ha creato il finito che ci circonda, che lo permea e che lo controlla: in una parola l’infinito è appannaggio di Dio, a prescindere dal nome che gli si attribuisce o dal luogo in cui lo si adora.

A Dio (o agli Dei) è da sempre attribuito il carattere infinito nello spazio, nel tempo o nella potenza; ed era perciò assimilabile all’eresia il voler spiegare o “giustificare” il concetto di infinito, per sua natura inconoscibile dall’uomo.

Ciononostante, presto o tardi gli studiosi si scontrarono con questa barriera che sembrava insormontabile, sia che si occupassero di teologia sia di matematica, di astronomia o di fisica, e una qualche spiegazione la dovettero fornire.

è questo il caso del più grande “tuttologo” dell’antichità: Aristotele. Per sua natura il grande filosofo (greco di nascita e di cultura) era restio ad ammettere l’esistenza dell’infinito, così come quella del concetto di zero (il nulla, così come il tutto, rischiava di minare alla base il sistema logico greco): perciò, la sua trattazione si basa sulla distinzione tra infiniti “attuali”, cioè esistenti, e “potenziali”, dunque mai esistenti, “in divenire”.

Aristotele ritenne che l’infinito esistesse solo in potenza, e negava l’esistenza di un infinito “in atto”. Secondo il filosofo greco l’infinito potenziale è un processo, che in teoria potrebbe andare avanti per sempre, senza giungere mai alla fine.

Pensiamo alla successione dei numeri naturali (1,2,3,4,5... e così via): non esiste un numero più grande di tutti (potrò sempre aggiungere un’unità al precedente e andare avanti), e dunque è un perfetto esempio di infinito potenziale, essendo una successione senza fine, un conteggio continuo senza un punto di arrivo, e mai “attuale”.

Aristotele ammetteva che si potesse tagliare un pezzo di legno infinite volte, ma ovviamente ci sarebbe stato bisogno di un periodo di tempo infinito e di una serie infinita di azioni per farlo.

Ma Aristotele ci sorprende ancora: nella sua trattazione l’infinito non viene considerato un “tutto”, un contenitore onnicomprensivo, come si era pensato fino ad allora, bensì qualcosa di “monco”: è “l’uno”, il singolo, l’intero ad essere completo, mentre al di fuori dell’infinito, per sua stessa natura, deve esserci qualcosa, che lo rende imperfetto, incompleto.

L’idea di infinito viene così rovesciata: non è più ciò al di fuori del quale non vi è nulla, bensì ciò al di fuori di cui c’è sempre qualcosa.

Ogni singolo pezzo di materia è divisibile indefinitamente: l’infinito è dunque immanente alla materia stessa, fa parte della sua natura ultima e, proprio per questo, è inconoscibile dall’uomo.

è necessario, a questo punto, ricordare che per Aristotele qualunque cosa aveva uno scopo, una “causa finale”, che la rendeva esistente, conoscibile e le assegnava un significato, quantunque futuro; l’infinito trascendeva da questo schema, non potendo avere uno scopo e un significato in un periodo finito di tempo, e non poteva essere conosciuto: dunque, per ciò stesso, doveva essere inesistente in atto.

Diverso era il discorso aristotelico per quanto riguardava il tempo: il filosofo era dispostissimo ad ammettere che la Terra, e tutto l’universo, esistessero da un tempo infinito.

Con una precisazione, però: innanzitutto, anziché “infinito” usa la parola “illimitato” (differenza sottile ma, soprattutto in geometria, fondamentale); inoltre egli riteneva che il tempo esistesse come misura del mutamento solo ed esclusivamente nel momento in cui esso fosse in atto e qualcuno potesse registrarlo: gli esseri senzienti e finiti non creano il tempo, ma esso non poteva esistere se non accadeva nulla o se non c’era una mente che ne registrasse lo scorrimento.

L’inconoscibilità e la trascendenza dell’infinito rispetto alle questioni umane è rimasto un “dogma” del pensiero occidentale per secoli, anche a causa di alcune posizioni religiose (voler studiare l’infinito, attributo di Dio, è forse voler studiare Dio stesso).

Ciononostante, nella seconda metà dell’ ‘800 Cantor si dedicò con passione a questo argomento, grazie alla condizione mediamente agiata che gli permise di studiare in scuole private - a Francoforte - e di iscriversi poi all’Università di Berlino, il centro della matematica del tempo. Dopo la laurea e il dottorato, ottenne un posto all’università di Halle (a metà strada tra Berlino e Gottinga), città dalla quale, nonostante tutti i suoi sforzi, non riuscirà ad “evadere”: a causa dell’ostracismo dei suoi vecchi professori per le idee innovative che andava professando gli fu sempre negata una cattedra in un’università più prestigiosa, e fu costretto a rimanere in una piccolo centro di provincia, circondato da colleghi di modesto livello, fino alle malattie nervose e ai periodi di ricovero in clinica (dovuti probabilmente alla frustrazione per le ingiustizie subìte).

Nel 1831 Karl Gauss, il massimo matematico dell’epoca, aveva ribadito pubblicamente la sua convinzione in base alla quale, in matematica, hanno senso unicamente gli infiniti “potenziali”, e mai quelli “attuali”, perchè ogni operazione matematica, per essere tale, doveva essere portata a termine in un numero finito di passi e dare un risultato preciso. E’ ovvio che, in questo ambiente già elitario, ricoprire il ruolo di “voce fuori dal coro” equivaleva a condannarsi alla solitudine e, in larga misura, ad un’irriducibile ostilità manifestata con qualunque arma a disposizione, finanche gli attacchi personali (Kronecker, infatti, definì Cantor “un corruttore della gioventù”).

Cantor, nell’avvicinarsi al mondo degli infiniti, si pose una domanda cruciale: è possibile numerare un numero infinito? Questo apparente paradosso logico e la sua geniale soluzione furono il contributo più importante di Cantor alla matematica: egli distinse vari “tipi” di insiemi infiniti e li “catalogò”, aprendo così una nuova branca della matematica, che vide estendersi le sue possibilità d’azione a campi ancora inesplorati.

Galileo, secoli prima, si era già chiesto quale, tra due elenchi di numeri infiniti, fosse il più grande: mettendo in relazione biunivoca delle serie di numeri, ad es. ogni numero e il suo quadrato (1-1, 2-4, 3-9, 4-16, 5-25 etc.), ottengo due elenchi infiniti: ma è possibile dire quale dei due sia il “maggiore”, e avrebbe senso dirlo?

Lo stesso discorso si può fare mettendo in relazione la successione dei numeri naturali con quella dei numeri pari:

1 ------ 2
2 ------ 4
3 ------ 6
4 ------ 8
5 ------ 10

 
e così via, all’infinito.

Cantor ritenne che ogni insieme infinito di numeri che si possa mettere in corrispondenza biunivoca con l’ordine dei numeri naturali abbia la stessa “dimensione”. Chiamò questi insiemi “numerabili”, e li denotò con la prima lettera dell’alfabeto ebraico, И0, aleph con zero.

Per inciso, Cantor scoprì che anche le frazioni ottenute dividendo un numero intero per un altro sono un infinito numerabile: è bastato (si fa per dire!) trovare un modo di elencarle tutte:

1/1;
2/1, 1/2;
3/1, 2/2, 1/3;
4/1, 2/3, 3/2, 1/4;

E così via..

Elencando le frazioni in modo che in ogni riga la somma di numeratore e denominatore dia sempre uno stesso numero (prima riga 2, seconda 3, etc.) Cantor riuscì ad elencare tutte le frazioni, in modo da poter dimostrare che esse sono, secondo la sua denominazione, un insieme “numerabile”.

Dimostrò così che tutti gli infiniti presi in considerazione dai matematici e dai filosofi fino ad allora esistiti sono “numerabili”. Ma ne esistono altri, allora?

Scoprì che esistevano degli insiemi di numeri che non possono essere messi in relazione biunivoca con l’insieme dei numeri naturali, e li denominò infiniti “non numerabili”.

Per dimostrare l’esistenza di questo particolare tipo di insiemi Cantor eseguì una dimostrazione insieme facile ed acuta utilizzando i numeri reali (decimali razionali, con un numero finito o periodico di cifre dopo la virgola, e irrazionali, con un numero infinito e non periodico di cifre dopo la virgola, ad es. π).

Si procede per assurdo: come ipotesi assurda postuliamo che sia possibile mettere in corrispondenza biunivoca l’elenco dei numeri naturali e di quelli reali compresi tra 0 e 1, e lo schema che ci viene fuori sarebbe pressappoco così:

1 <------> 0,3427678564...
2 <------> 0,496247863...
3 <------> 0,3875647865...
4 <------> 0,029357975...

E così via, all’infinito.

A questo punto ci è però possibile “costruire” un numero decimale compreso tra 0 e 1 che non sia compreso nella nostra lista; prendiamo la prima cifra decimale del primo numero: se è uguale a 1 scriviamo 2, se è diverso da 1 scriviamo 1; prendiamo poi la seconda cifra decimale del secondo numero facendo lo stesso, e continuiamo il procedimento all’infinito: otterremo un numero decimale che non può esistere nel nostro schema precedente.

Ecco dunque la prova matematica che esistono effettivamente degli infiniti “non numerabili”.

Cantor li chiamò И1, aleph con uno, e i decimali sono solo uno degli esempi che si potrebbero portare; pensava inoltre che non potessero esistere infiniti minori di И1 e maggiori di И0, ma non riuscì mai a dimostrarlo.

Ciò che invece lo occupò ancora e che portò forse alla sua scoperta (matematicamente parlando) più spettacolare, era la ricerca di un insieme infinitamente più grande dei precedenti (si potrebbe dire qualitativamente più grande), un insieme che li contenesse tutti, in due parole un “insieme assoluto”.

Si potrebbe pensare che sia sufficiente aggiungere dei “corpi estranei” agli infiniti precedenti per ottenerne di più grandi (ad es. aggiungere un # ogni 2 numeri nell’elenco dei numeri naturali), ma questo procedimento non muta la natura numerabile dell’insieme.

Cantor invece riuscì a dimostrare che, dato un qualsiasi insieme infinito, si può ottenerne uno infinitamente più grande tramite i suoi sottoinsiemi.

Prendiamo un insieme finito di 3 elementi {A;B;C} possiamo creare un certo numero di sottoinsiemi tra i suoi elementi: {A};{B};{C};{A,B};{B,C};{A,C};{A,B,C}

Partendo da un insieme infinito di elementi il numero di sottoinsiemi risultanti sarà ovviamente infinito, e al contempo infinitamente maggiore dell’insieme di partenza.

Questo è il concetto degli “insiemi potenza”: ad es. l’insieme potenza risultante dal gruppo dei numeri naturali risulterà essere P[И0].

è ovviamente possibile sviluppare un “insieme potenza” di qualsivoglia insieme, anche di uno che sia già a sua volta un “insieme potenza” di un altro gruppo, in una escalation, neanche a dirlo, infinita.